大多数人最先接触的切线源于圆这种特殊的曲线。因为圆的半径与所经过的切线是垂直的，所以圆的切线很容易被定义：过圆上一点且垂直于该点半径的那条直线。
人们发现，圆的割线必定与圆交于两点，而切线必定只与圆交于一点，因此“只交于一点”这件事成为人们对于切线最深刻的印象。
于是有人根据这种理解，提出关于切线的一种定义：
一条与曲线接触但不切割曲线的直线。
这是切线诸多定义中迄今流传最广的那一个。
按此定义，与曲线接触的情况有两种，割线为其一，除此之外就是切线了。
何谓割线？割线一词的英文叫secant，它与section同源，而section的意思很清楚，就是切断的意思。
如果把割线想象为一把刀，曲线将难逃被分割为多段——至少是分尸两段的命运！
一旦关系破裂，切割分分钟发生。
于是有了割袍断义之说。
然后，一切都再也回不去了。
记住：不到那一步，不要轻易切割。
呃，这波语义剖析有点啰嗦得快控制不住了。但我敢保证，正是这种切割所激起的痛感，你此刻脑子里对割线已经建立前所未有的深刻认知了。
然而说到“切”，如今现实中，很多时候它只是一个语气词。
但正经点来说，“切”主要是指下面这种意思。
这样一来，“切”似乎与“割”或者“切割”没啥不同？
非也！其实，即使不在讨论切线的语境中，“切”的意思也远非上述这些，它还有“贴近”和“契合”之意，表示刚好靠近，而未越过界限进入对方内部。词语诸如“贴切”、“切中”等皆由此而生。而“切线”一词，正是取此义而得也。
假设此刻你脸上有一只蚊子，而我又是一位武艺高强手握双板斧的大咖，我将会用利斧贴着你的脸皮掠过，斧口掠过的路径就是一条切线，你将毫发无损，而位于切点的蚊子被准确的砍死。
讲了这么久，你现在明白了上面那个切线定义的由来吧！
按照这种切线的定义，考虑如下图这些情况。
显然，，和都发生了切割，所以那些红线都是割线。而中只是发生了切，与割不同的是，即使因此而切掉了一点，也可忽略，因为数学上的点本来就没大小嘛！因此，曲线没有因为切线的切而断掉。
当然，机智如你，有人提出，按此上面这种理解方式，下面这种也是切线，理由是二者有接触，曲线未被切割。对吗？
不对不对！切线应该是直线，而你这里是射线嘛。
关于切线的这样的一种观点或约定，一直被广泛的接受，直到年。
因为不断有人提出：一条切线应该只与曲线上一个点关联，而不必管它是否在别的位置切割曲线。按此说法，像上图中的红线也应该是切线！
也就是说，对曲线有转向的情况，因为无法避免直线与曲线切割，上面所提到的切线定义无法给出切线。
所以，年以后，这种频繁出现在各种词典中的定义被正式宣布废弃了。
如果你还持有这种观念，那很抱歉，你的观念已经out快两百年了！
年之后，词典里对切线的给出的定义是：
切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
实际上，“切线”一词的英文——“tangent”，源自拉丁语“totouch”，表示接触的意思。窃以为，这种接触就是点到为止，不过分依靠和攀附。
据此描述，对于将切线演示出来这件事，具有良好的可操作性：当你拿着一根不太长的直线靠近曲线上的某个确定点时，只要让你手里的直线与曲线刚好接触，你手里的直线就是那条要找的切线。
若你将一根刚性直杆搭在一个圆球上，只要你避免杆的两端与球面直接接触，可以肯定，杆必定与球保持相切。
如下图，假设地面光滑，左边的球与墙壁接触但无压力，因此球没有发生形变，所以墙面和球面刚好接触，二者相切。而右边的球因为受到细线的斜拉力，必定受到墙面的支持力，球面发生形变，它与墙之间并非点到为止，因此墙面不是球面的切面。
虽然这种切线定义是正确的，并且实际操作性强。但这句话有点模糊，“刚好触碰”什么意思？感觉正经的数学定义不会这么说，的确不太好理解，所以这个定义的接受度不是很高。
为了解决广大群众对数学知识的向往与有限的理解力之间的矛盾，人们需要一种更浅显的说法。比如：有几个交点就算切线？于是，“只交于一点”这么一个最直观，但却很容易找到反例的错误说法依然占有较大的市场。
难道在漫长的人类文明史中，切线的定义就只是这个？
非也！太小看历史上的那些聪明的数学家了！其实早在古希腊时代，人们就给出了准确的定义，后来人们又对切线给出多种定义。但遗憾的是，或许是因为数学和几何上的严格定义往往是比较抽象的，这些正确定义并未被大众所熟知。
那么，到底有哪些大牛曾经提出过正确的切线的定义呢？其实，古希腊的数学家欧几里德和阿基米德、比牛顿稍早的法国数学家费马以及牛顿本人等，都对切线做过研究。本文无意去地毯式探求切线定义的发展历史，只列举一下最为重要的两个定义。
第一个定义来自古希腊三大数学家之一的阿波罗尼奥斯（ApolloniusofPerga，约公元前～）。
在数学中，喇叭角，也称为hornangle，是一种曲线角，定义为两条相切的曲线之间形成的角。下面这只牛角表面沿纵向正对的两条曲线近似牛角尖处相切，因此就形成一个喇叭角。当然，你可能会钻牛角尖，因为牛角是个立体角。
按照阿波罗尼奥斯的观点，若切线为直线，那么，切线与曲线之间形成的喇叭角是经过该点所有直线与曲线形成的角中最小的那一个。
当然，如果切线没有被限制为直线，那么在它与所切的曲线之间，可以插入另外的不同曲线，它们之间彼此两两相切。例如下图中，就成功的被插入到和它的切线之间。
阿波罗尼奥斯将切线定义为一条直线，那么它和曲线之间不可能还能插入其他的直线。话句话说，所谓切线就是那个与曲线接触并形成最小夹角的直线。
不过，值得注意的是，这种切线的定义只适合于光滑的曲线，如果像下面这种情形，切线是不存在的。图中红色的直线只是曲线部分的切线，而非整体的切线。
阿波罗尼奥斯不愧为几何学大师，给出的切线的定义似乎无懈可击。即使将切线推广至曲线，也是可以的。因为若切线是形状大小固定曲线，当你试图将另一条同样的曲线插入喇叭角，并使它同一位置与切点重合时，它必然与原来的切线重合。换句话说，切线和曲线之间也无法再插入一条(同样的)切线了。
但事实上，将切线限定为直线也是合理的。
这样做，并不妨碍研究两个曲线相切这件事。因为曲线是否相切可以根据它们在某个公共点上是否共有切线来判定。事实上，我们就是这么做的！不光如此，人们还规定，当两个曲线在一个公共点的切线互相垂直时，我们就说这两个曲线正交。
设圆与一曲线相切，若圆在曲线的凹的一侧，且曲线在切点处的曲率半径等于圆半径，则该圆称作曲线的密切圆，如下图所示。
密切圆有个与切线类似的性质，在它与曲线之间，不存在其他与曲线相切的圆。这就是为什么称其为密切的原因。好比一对伴侣，情之密切，绝不容外人介入。
一些特殊的曲线的密切圆会形成美妙的图案，典型的案例是阿基米德螺线。阿基米德螺线，也称等速螺线，是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹。在极坐标系中，这种曲线可表示为
下图这个看起来像蚊香盘的东东就是这种曲线。
沿着等速螺线从内到外，画出半径逐渐增大的密切圆，形成如下奇特的图案(点击看大图)。可以看出，这本身提供了一种画等速螺线的办法，因为相邻的圆的切点移动的轨迹正好就是螺线本身。
再发个动图娱乐一下吧。
关于阿波罗尼奥斯给出的切线定义就介绍这么多吧。
第二个切线定义，也是现代被广泛接受的切线定义，源于德国伟大的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼兹（GottfriedWilhelmLeibniz，－）。
他给出的定义非常简单：切线就是曲线上的割线在两个交点无限接近时所对应的那条直线。
如上图所示，红色线是一条割线，它与曲线交于两点。让其中一个交点固定不动，而让另一个交点沿着曲线不断靠近那个不动点，在这个过程中，割线不断旋转。
当二者之间的距离无限靠近时，它们决定的那条割线不再动了，这就形成了一条特殊的割线——哦，此时不再是割线了，而是一条被定义为“切线”的直线。
所以，切线是什么？切线就是割线的交点无限靠近时的极限。它的斜率可以通过极限运算确定，即
根据导数的概念可知，这个极限正好就是函数在该处的导数，即据此，我们可以给切线一个非常严格的数学定义。那就是：
设有曲线，其导数为。若直线过点，且具有斜率，则称直线为曲线在点处的切线。
根据这个定义，只要知道曲线的函数表达式，就可以通过求导的方法得到曲线在任一点的切线的斜率，加上这个已知点，我们就能唯一的将切线确定下来。
当然，对于非光滑的曲线，由于在某些位置，导数是不存在的，因此切线也就不存在了。
莱布尼兹关于切线的定义里，蕴含了他的微分思想。
学过微分的都知道，微分是无限趋近于零，但却不等于零的值。这保证了两个点还是两个点，只是彼此无限靠近！这一点非常重要。
因此，切线是曲线上无限接近，但又没有完全重合的两点决定的一条直线。
这个定义与大多数人心目种的切线定义不同，很多人往往认为切点是一个点，其实你想想，一个点怎么能确定一条直线呢？必须要两个点啊！
所以，切点从本质上讲包含两个点，两个无限靠近的点。
呃，是不是有点被颠覆世界观的的感觉？切点不就是一个点嘛，怎么会是两个点？
是的，如果你只是关心位置，那么切点就是一个点，它就是那个不动的点蜕变而来的。但只是在那个动点无限靠近时，它才转正成为切点！在此之前，它不是切点。
所以，莱布尼兹的定义是多么美妙！
而莱布尼兹的定义与阿波罗尼奥斯的定义是一致的，下面动画清楚的显示这一点：你无法在切线与曲线形成的角里再插入一条直线。
最后再来看一个问题：曲线上任一点是否只有一条切线呢？
很多人的答案是肯定的，并且在学习电场时，还据此来理解电场线为什么不能相交的问题。但恐怕很多人在这个问题上有点逻辑颠倒。实际上，电场线不能相交，那是因为任一点场矢量的方向是唯一确定的，并不能说明曲线上每点只能有一条切线！
实际上，过一点有多条切线的情况是存在的！
比如下面这种被称Pascal或limaon的曲线，在原点处就有两条切线。这是一种奇点的特殊情况，这种情况下，前面的定义失效了。但可以根据纯代数方法找到这些奇点的切线方程，这里就不涉及了。
与曲线的切线类似，与给定点处的曲面相切的平面是“刚好接触”该点处曲面的平面。例如，下图中，球面与平面刚好接触，平面是球面的切面。
现在，切线的概念已经被推广，成为微分几何中最基本的概念之一。
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来源：大学物理学
编辑：乐子超人